题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A'B'C',AC=2,BC=4,∠ACB=120°,∠ACC'=90°,且平面AB'C⊥平面ABC,二面角A'﹣AC﹣B'为30°,E、F分别为A'C、B'C'的中点.
(1)求证:EF∥平面AB'C;
(2)求B'到平面ABC的距离;
(3)求二面角A﹣BB'﹣C'的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)6(3).
【解析】
(1)利用线面平行的判定,求得后即可得解;
(2)过作
平面
,转化条件后即可得解;
(3)建立空间坐标系,求出两个面的法向量即可得解.
(1)证明:∵三棱柱中,四边形
是平行四边形,
,∴
是
的中点,
∵是
的中点,∴
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)过作
平面
,交
延长线于点
,
过点作
的平行线
,交
于点
,连结
,
则是二面角
的平面角,
∵,
,
,
且平面
平面
,二面角
为
,
∴,
,
∴,
,
∴,∴
,
∴到平面
的距离
.
(3)以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设二面角的平面角为
.
则.
∴二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查,下图是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”,低于60分钟的学生称为“非读书谜”.
(1)求的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少名?(将频率视为概率)
(2)根据已知条件完成下面的列联表,并据此判断是否有
的把握认为“读书谜”与性别有关?
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 40 | ||
女 | 25 | ||
合计 |
附:,
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在,按照区间
,
,
进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
(1)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
甲班 | 乙班 | 总计 | |
大于等于80分的人数 | |||
小于80分的人数 | |||
总计 |
(2)从乙班分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自
发言的人数为随机变量
,求
的分布列和期望.附:
,
0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 |