题目内容
【题目】已知曲线的方程为
.
(1)当时,试确定曲线
的形状及其焦点坐标;
(2)若直线交曲线
于点
、
,线段
中点的横坐标为
,试问此时曲线
上是否存在不同的两点
、
关于直线
对称?
(3)当为大于1的常数时,设
是曲线
上的一点,过点
作一条斜率为
的直线
,又设
为原点到直线
的距离,
分别为点
与曲线
两焦点的距离,求证
是一个定值,并求出该定值.
【答案】(1) 曲线是焦点在
轴上的椭圆,焦点坐标为
; (2) 见解析;(3)见证明
【解析】
(1)将a代入,两边平方并化简,可得曲线C的方程及形状;
(2)将代入曲线,利用PQ中点的横坐标为
,求出m,验证判别式是否成立,可得结论.
(3)将曲线C化简,得到焦点坐标,求得,再求得点到直线
的距离,代入
化简得到定值.
(1)当时,
,两边平方并化简得
,
∴曲线是焦点在
轴上的椭圆,其长半轴长为1,短半轴长为
,焦点坐标为
;
(2)将代入
,消去
,
得,由题意,
,
即,解得
或
(舍),此时,
,
,
设,
,
,
将代入
,得
,则
,
的中点坐标为
在对称轴
上,∴
,解得
,
不满足,∴曲线
上不存在不同的两点
、
关于直线
对称;
(3),两焦点坐标为
、
,
,
,即
,
∴,
用替换
中的
,
可得,∴
,
∴.
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