Question

【题目】如图，正方体中，点在上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥的体积不变； ②；

③平面； ④平面平面；

其中正确的命题是__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：①V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．

②，当P 与B重合时，DP与BC1；成60°角，不垂直．

③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；

④连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直．

解答：解：对于①，V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．∴三棱锥A-D1PC的体积不变； 正确；

②连接DB，DC1，可知△DBC1是正三角形，当且仅当P为BC1中点时，DP⊥BC1，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC1成60°角，不垂直．

错误

③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1；．正确．

④连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1?平面PDB1 从而可以证明平面PDB1⊥ACD1；正确．

正确的命题个数有 3个．

故选C．