Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x≥1时，f（x）≤ 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解： f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则由f′（x）=0，得x= ，

当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，

当x∈（ ）时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）单调递减．

所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）单调递减．

（2）

解：f（x）﹣ = ，

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，

，

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）递增，

g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）﹣ 不符合题意．

②若0＜a＜ ，当x∈（1， ），F′（x）＞0，

∴g′（x）在（1， ）递增，

从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，

∴g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0，

从而f（x）﹣ 不符合题意．

③若a ，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，

从而g9x）在[1，+∞）递减，

∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣ ≤0，

综上所述，a的取值范围是[ ）．

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， ，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＞0时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）单调递减．（2）f（x）﹣ = ，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax， ，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．