题目内容

9.为增加产品利润,某工厂想投入资金对机器进一步改造升级,经过市场调查,利润增加值y万元与投入x万元之间满足:y=$\frac{41}{40}x-t{x^2}-ln\frac{x}{10}$,x∈(1,m],当x=10时,y=9.
(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求利润增加值y取得最大时对应的x的值.

分析 (Ⅰ)x=10时,y=9,代入可得t,即有函数的解析式;
(Ⅱ)求出f(x)的导数,求得单调区间,讨论m>40,m≤40,由单调性即可得到最大值.

解答 解:(Ⅰ)因为当x=10时,y=9,
即$9=\frac{41}{40}×10-t×{10^2}-ln\frac{10}{10}$,
解得$t=\frac{1}{80}$,
所以  $y=\frac{41}{40}x-\frac{x^2}{80}-ln\frac{x}{10},x∈(1,m]$.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,$f'(x)=\frac{41}{40}-\frac{x}{40}-\frac{1}{x}$
=$-\frac{{{x^2}-41x+40}}{40x}=-\frac{(x-1)(x-40)}{40x}$,
令f′(x)=0,得x=40或x=1(舍去),
当x∈(1,40)时,f'(x)>0,f(x)在(1,40)上是增函数;
当x∈(40,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(40,+∞)上是减函数.
∴当m>40时,
当x∈(1,40)时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,40)上是增函数;
当x∈(40,m]时,f'(x)<0,∴f(x)在(40,m]上是减函数,
∴当x=40时,y取得最大值;
当m≤40时,当x∈(1,m)时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,m)上是增函数,
∴当x=m时,y取得最大值.

点评 本题考查函数的解析式的求法,注意运用方程的思想,考查函数的最值的求法,注意运用导数,判断单调性,以及分类讨论的思想方法,属于中档题.

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