Question

2．已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=ax²（lnx-$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程（e为自然对数的底数，e=2.718…）；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，对a讨论，当a≤0时，若a=$\frac{1}{2}$，若a＞$\frac{1}{2}$，若0＜a＜$\frac{1}{2}$，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x-xlnx的导数为f′（x）=1-（1+lnx）=-lnx，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为-1，切点为（e，0），
则f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=-x+e；
（Ⅱ）F′（x）=1-（1+lnx）+2ax（lnx-$\frac{1}{2}$）+ax=-lnx（1-2ax），
①当a≤0时，F′（x）=-lnx，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1；
由F′（x）＜0，可得x＞1，
则f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
②若a=$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞1，
f（x）的增区间为（0，1），（1，+∞）；
③若a＞$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$；
由F′（x）＜0，可得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞），减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）；
④若0＜a＜$\frac{1}{2}$，由F′（x）＞0，可得0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；
由F′（x）＜0，可得1＜x＜$\frac{1}{2a}$，
f（x）的增区间为（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞），减区间为（1，$\frac{1}{2a}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，运用分类讨论的思想方法和正确求导是解题的关键．