Question

4．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项之积为T_n，若log₂T_n=n²+n，则$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$的最小值为$\frac{275}{16}$．

Answer 1

分析 log₂T_n=n²+n，可得T_n=${2}^{{n}^{2}+n}$，当n≥2时，${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=2²ⁿ．可得$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$，令f（x）=$x+\frac{12}{x}$，（x≥2），利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵log₂T_n=n²+n，
∴T_n=${2}^{{n}^{2}+n}$，
∴当n≥2时，${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{{n}^{2}+n}}{{2}^{（n-1）^{2}+（n-1）}}$=2²ⁿ=4ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{2n}+12}{{2}^{n}}$=${2}^{n}+\frac{12}{{2}^{n}}$，
令f（x）=$x+\frac{12}{x}$，（x≥2），
f′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-12}{{x}^{2}}$，
当2≤x≤$\sqrt{12}$时，函数f（x）单调递减；当$\sqrt{12}$≤x时，函数f（x）单调递增．
∴当n=3时，${2}^{3}+\frac{12}{{2}^{3}}$=$\frac{19}{2}$；当n=4时，${2}^{4}+\frac{19}{{2}^{4}}$=$17+\frac{3}{16}$＞$\frac{19}{2}$．
∴则$\frac{{a}_{n}+12}{{2}^{n}}$的最小值为$\frac{19}{2}$．
故答案为：$\frac{19}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、对数的运算性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．