Question

15．在△ABC中，已知C=30°，c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 先根据正弦定理表示出a与b，然后利用辅助角公式进行化简，利用A的范围，进而求得a+b的范围．

解答 解：∵由正弦定理知a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{2}}$sinA=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）sinA，b=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）sinB，
∴a+b═2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）（sinA+sinB）=2（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）[sinA+sin（150°-A）]=（8+4$\sqrt{3}$）sin（A+θ），
∴tan$θ=2-\sqrt{3}$，θ=15°，
∵0°＜A＜150°，
∴A=0°或150°时，sin15°=sin165°，a十b有最小值，当A=75°时，sin（A十θ）=1，有最大值，
∴a+b∈（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，8+4$\sqrt{3}$]，
∴a+b的取值范围为（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，8+4$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用，辅助角公式的应用．考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．