题目内容
【题目】如图,几何体EF-ABCD中,四边形CDEF是正方形,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,△ACB是腰长为2的等腰直角三角形,平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求证:BC⊥AF;
(2)求几何体EF-ABCD的体积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)推导出FC⊥CD,FC⊥BC,AC⊥BC,由此BC⊥平面ACF,从而BC⊥AF.
(2)推导出AC=BC=2,AB
4,从而AD=BCsin∠ABC=2
2,由V几何体EF﹣ABCD=V几何体A﹣CDEF+V几何体F﹣ACB,能求出几何体EF﹣ABCD的体积.
(1)因为平面CDEF⊥平面ABCD,
平面CDEF∩平面ABCD=CD,
又四边形CDEF是正方形,
所以FC⊥CD,FC平面CDEF,
所以FC⊥平面ABCD,所以FC⊥BC.
因为△ACB是腰长为2的等腰直角三角形,
所以AC⊥BC.
又AC∩CF=C,所以BC⊥平面ACF.
所以BC⊥AF.
(2)因为△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,
所以AC=BC=2,AB=
=4,
所以AD=BCsin∠ABC=2=2,
CD=AB=BCcos∠ABC=4-2cos45°=2,
∴DE=EF=CF=2,
由勾股定理得AE==2
,
因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AD.
又AD⊥DC,DE∩DC=D,所以AD⊥平面CDEF.
所以V几何体EF-ABCD=V几何体A-CDEF+V几何体F-ACB
=
=+
=
=.
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