题目内容
【题目】若在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）有“漂移点”．
（1）用零点存在定理证明：函数f（x）=x2+2x在[0，1]上有“漂移点”；
（2）若函数g（x）=lg（
）在（0，+∞）上有“漂移点”，求实数a的取值范围．
【答案】(1)见证明；(2) [3-
，2）
【解析】
(1)只需证明 h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1）=0在[0，1]上有解即可；（2）利用函数有飘移点x0，即lg
=lg（
）+lg
在（0，+∞）成立，将式子进行化简，转为方程有解问题.
（1）令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2x-1+x-1），
又h（0）=-1，h（1）=2，∴h（0）h（1）＜0，
∴h（x）=0在（0，1）上至少有一实根x0，
故函数f（x）=x2+2x在（0，1）上有“飘移点”．
（2）若g（x）=lg（
）在（0，+∞）上有飘移点x0，由题意知a＞0，
即有lg=lg（）+lg成立，即
整理得（2-a）
-2ax0+2-2a=0，
从而关于x的方程g（x）=（2-a）x2-2ax+2-2a在（0，+∞）上应有实根x0，
当a=2时，方程的根为
，不符合题意，
当0＜a＜2时，由于函数g（x）的对称轴
，
可知，只需△=4a2-4（2-a）（2-2a）≥0，
∴
，即有
，
当a＞2时，由于函数g（x）的对称轴
，
只需g（0）＞0即2-2a＞0，所以a＜1，无解．
综上，a的取值范围是[3-，2）．
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