题目内容

6.已知函数f(x)=x2-2ax+a,
(1)当a=2时,求函数f(x)在[0,3]上的值域;
(2)若a<0,求使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]的a的值.

分析 (1)求得a=2的函数的解析式,求出对称轴,结合区间的关系可得f(2)最小,f(0)最大,进而得到值域;
(2)讨论对称轴x=a与区间的关系,对a讨论,当-1≤a<0时,当a<-1时,结合单调性,可得a的值.

解答 解:(1)当a=2时,f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2,
图象关于x=2对称,
∵x∈[0,3],∴f(x)在[0,2]上单调减,在[2,3]上单调增,
∴最小值为f(2)=-2,而f(0)=2,f(3)=-1.
∴值域为[-2,2].
(2)当-1≤a<0时,$\left\{\begin{array}{l}{f(a)=-2}\\{f(1)=2}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a-{a}^{2}=-2}\\{1-2a+a=2}\end{array}\right.$,
解得a=-1,
当a<-1时,$\left\{\begin{array}{l}{f(-1)=-2}\\{f(1)=2}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{1+2a+a=-2}\\{1-2a+a=2}\end{array}\right.$,解得a-1舍去.
综上所述a=-1.

点评 本题考查二次函数的值域的求法,注意对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题和易错题.

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