题目内容
【题目】已知
为坐标原点，椭圆
的离心率为
，双曲线
的渐近线与椭圆
的交点到原点的距离均为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点
为椭圆上的动点，
三点共线，直线
的斜率分别为
.
（i）证明：
；
（ii）若
，设直线
过点
，直线
过点
，证明：
为定值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【解析】
（1）设渐近线与椭圆
交点为
，根据
到原点的距离和在椭圆上可得到关于
的方程，结合离心率即可求得，进而得到椭圆方程；
（2）由
关于原点对称可假设
坐标；
（i）利用
在椭圆上，满足椭圆方程，代入
中化简整理可得结论；
（ii）求得
后，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用
可得到所求定值.
（1）设椭圆的半焦距为
，由题意知：
，
…①，
双曲线
的渐近线方程为
，
可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，
，解得：
.
在椭圆上，
，即：
…②，
由①②解得：
，
，
椭圆的标准方程为：.
（2）由题意知：关于原点对称，则可设
，
，
.
（i）点在椭圆上，
，
，
，
，
.
（ii）不妨设
，
，
，
，
，
，
直线
过点
，直线
过点
，
直线
，
，
由
得：
，
，
由
得：
，
，
，即
，
为定值
.
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