题目内容
【题目】已知为坐标原点,椭圆
的离心率为
,双曲线
的渐近线与椭圆
的交点到原点的距离均为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆
上的动点,
三点共线,直线
的斜率分别为
.
(i)证明:;
(ii)若,设直线
过点
,直线
过点
,证明:
为定值.
【答案】(1)(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析;
【解析】
(1)设渐近线与椭圆交点为
,根据
到原点的距离和
在椭圆上可得到关于
的方程,结合离心率即可求得
,进而得到椭圆方程;
(2)由关于原点对称可假设
坐标;
(i)利用在椭圆上,满足椭圆方程,代入
中化简整理可得结论;
(ii)求得后,将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式,利用
可得到所求定值.
(1)设椭圆的半焦距为,由题意知:
,
…①,
双曲线
的渐近线方程为
,
可设双曲线的渐近线与椭圆
在第一象限的交点为
,
,解得:
.
在椭圆上,
,即:
…②,
由①②解得:,
,
椭圆
的标准方程为:
.
(2)由题意知:关于原点对称,则可设
,
,
.
(i)点
在椭圆
上,
,
,
,
,
.
(ii)不妨设,
,
,
,
,
,
直线
过点
,直线
过点
,
直线
,
,
由得:
,
,
由得:
,
,
,即
,
为定值
.
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