Question

10．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b=c•cosA，则$\frac{a+b}{c}$的取值范围是$（1，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根据余弦定理化简b=c•cosA后，代入$\frac{a+b}{c}$化简，利用基本不不等式和边角关系求出$\frac{a+b}{c}$的范围．

解答 解：由题意得，b=c•cosA，
由余弦定理得b=c•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，化简得c²=a²+b²，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{2ab}{2ab}}$=$\sqrt{2}$（当且仅当a=b时取等号），
又c＜a+b，则1＜$\frac{a+b}{c}$≤$\sqrt{2}$，
∴$\frac{a+b}{c}$的取值范围是$（1，\sqrt{2}]$，
故答案为：$（1，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查余弦定理的应用，边角关系，以及基本不等式求最值，属于中档题．