Question

19．已知数列{a_n}的通项公式a_n=10ⁿ，n∈N₊，b_n=$\frac{1}{lg{a}_{2n-1}lg{a}_{2n+1}}$，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 通过对数的运算性质、裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=10ⁿ，n∈N₊，
∴a_2n-1=10^2n-1，a_2n+1=10²ⁿ⁺¹，
∴b_n=$\frac{1}{lg{a}_{2n-1}lg{a}_{2n+1}}$
=$\frac{1}{lg1{0}^{2n-1}•lg1{0}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．