题目内容

【题目】已知函数f(x)= (a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是

【答案】[ ]∪{ }
【解析】解:由y=loga(x+1)+1在[0,+∞) 上递减,得0<a<1,
又由f(x)= (a>0且a≠1)在R上单调递减,
得02+3a≥f(0)=1,解得a
作出函数f(x)= (a>0且a≠1)在R上的大致图象,
由图象可知,在[0,+∞) 上,|f(x)|=2﹣x 有且仅有一个解,
故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x 同样有且仅有一个解,
当3a>2,即a> 时,联立|x2+3a|=2﹣x,
则△=12﹣4(3a﹣2)=0,解得:
当1≤3a≤2 时,由图象可知,符合条件.
综上:a∈[ ]∪{ }.
所以答案是:[ ]∪{ }.

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