题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)平面
平面
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证得,然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线与平面
所成角的正弦值是
.
试题解析:
(1)证明:如图所示,取的中点
,连接
,
,
.因为
,
所以.由于
,
,
故为等边三角形,所以
.
因为,所以
.
又,故
(2)由(1)知,
,又
,交线为
,
所以,故
两两相互垂直.
以为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,
为单位长,建立如图(2)所示的空间直角坐标系
.由题设知
,
则,
,
.
设是平面
的法向量,
则即
可取
故
.
所以与平面
所成角的正弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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