Question

已知函数f（x）=x²-lnx+a，曲线f（x）在点（1，f（10））处的切线为l，
（1）若a=-1，求切线l的方程；
（2）若切线l与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f′（1）的值，再求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）求出切线l的方程为y-（1+a）=x-1，即y=x+a，可得切线l与坐标轴的交点分别为（-a，0），（0，a），利用切线l与坐标轴围成的三角形面积为2，求a的值．

解答： 解：（1）∵a=-1，∴f（x）=x²-lnx-1
∴切点坐标为（1，0）------------2分
∵f′（x）=2x-

1

x

，∴切线l的斜率k=f′（1）=1------4分
∴切线l的方程为y-1=x，即x-y+1=0------------6分
（2）∵f（1）=1+a
∴切线l的方程为y-（1+a）=x-1，即y=x+a------------8分
∴切线l与坐标轴的交点分别为（-a，0），（0，a）-----------10分
∴由

1

2

|a|2=2可得a=±2．------------12分

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．