Question

3．△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足$\frac{AM}{MC}=\frac{MP}{PB}$=2，若$|{\overrightarrow{AB}}|=2，|{\overrightarrow{AC}}|=3，∠BAC={90°}$，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$的值为$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 通过已知条件和向量数乘、加法、减法的几何意义可以用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，再根据AB⊥AC得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，然后进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$．

解答 解：如图，
根据已知条件，$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{MP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=$-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$+\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$；
又∠BAC=90°，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=（\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）$$•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}=2-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}$．
故答案为：$-\frac{2}{3}$．

点评 考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及非零向量垂直的充要条件，数量积的运算．