Question

13．已知奇函数f（x）=$\frac{m-g（x）}{1+g（x）}$的定义域为R，其中g（x）为指数函数，且过定点（2，9）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），代入点，即可得到g（x），再由奇函数的定义，即可得到m=1；
（2）先判断f（x）的单调性，可运用导数或分离变量法，要使对任意的t∈[0，5]，f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t²-4t+5恒成立，结合二次函数的最值，即可得到k的范围．

解答 解：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），
因为过点（2，9），所以g（2）=9，即a²=9，解得a=3，
则g（x）=3^x，所以f（x）=$\frac{m-g（x）}{1+g（x）}$=$\frac{m-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$，
因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，则m-1=0，解得m=1，
则f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{-2×{3}^{x}ln3}{（1+{3}^{x}）^{2}}$＜0，
∴y=f（x）在R上单调递减．　
由f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）＞0得，
f（t²+2t+k）＞-f（-2t²+2t-5），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（t²+2t+k）＞f（2t²-2t+5），
∴t²+2t+k＜2t²-2t+5，
∴k＜t²-4t+5=（t-2）²+1当t∈[0，5]恒成立，
而当t∈[0，5]时，1≤（t-2）²+1≤10，
∴k＜1，
∴实数k的取值范围（1，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性及运用：求函数的表达式和解不等式，考查运算能力，考查分离参数的方法，属于中档题和易错题．