题目内容
【题目】已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-
,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)设>0,若函数g(x)=f(x+
)为奇函数,求
的最小值.
【答案】(1)T=,[-
+k
,
+k
](k∈Z).(2)
min=
.
【解析】分析:(1)整理函数的解析式可得f(x)=sin(2x+),则函数的最小正周期为T=
,单调递增区间为[-
+k
,
+k
](k∈Z).
(2)由题意可知g(x)=f(x+)=sin[2x+(2
+
)].结合奇函数的定义即可求得
的最小值.
详解:(1)f(x)=cosx(sinx+cosx)-
=sin(2x+
),
T=,f(x)单调递增区间为[-
+k
,
+k
](k∈Z).
(2)f(x)=cosx(sinx+cosx)-
=sin(2x+
),
g(x)=f(x+)=sin[2(x+
)+
]=sin[2x+(2
+
)].
由函数g(x)=f(x+)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即sin[-2x+(2+
)]=-sin[2x+(2
+
)],
展开整理得cos 2x sin(2+
)=0 对
x∈R都成立,
所以sin(2+
)=0,
即2+
=k
,k∈Z,且
>0,
所以min=
.
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