Question

【题目】设f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．
（1）若f（x）在（ ，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣ ，求f（x）在该区间的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ．

当 时，f'（x）的最大值为 ．

因为f（x）在 上是单调减函数，则f'（x）≤0在 上成立，

所以 ，解得 ，故所求实数a的取值范围为

（2）解：令 ．

因为当x＜x1或x＞x2时f'（x）＜0，当x1＜x＜x2时f'（x）＞0

所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），

又 ．

所以f（x）在[1，4]上的最小值为 ．

得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为

【解析】（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．