Question

7．已知f（x）=alnx，g（x）=-x²+3x-2．
（1）当a=1时，求f（x），g（x）在x=1处的切线；
（2）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（3）若f（x）＞g（x）在x＞1时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，分别求出两个切点坐标，和导函数的函数值，代入直线的点斜式方程，可得答案．；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=alnx+x²-3x+2．求导后，分别讨论定义域内各个区间上导函数的符号，进而可得函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（3）结合（2）中结论，可得若f（x）＞g（x）在x＞1时恒成立，则h（x）＞0在x＞1时恒成立，进而得到满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）∵当a=1时，f（x）=lnx，g（x）=-x²+3x-2．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=-2x²+3．
∴f′（1）=1，g（1）=1，
又∵f（1）=0，g（1）=0．
故f（x），g（x）在x=1处的切点坐标均为（1，0）点，切线斜率均为1，
故f（x），g（x）在x=1处的切线方程为：y=x-1，即x-y-1=0，
（2）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx+x²-3x+2．
∴h′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+a}{x}$
当a$≥\frac{9}{8}$时，h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜$\frac{9}{8}$时，令h′（x）=0，则x=$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$，或x=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，
此时x∈（0，$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$），或x∈（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，+∞）时，h′（x）＞0函数h（x）为增函数，
x∈（$\frac{3-\sqrt{9-8a}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）时，h′（x）＜0函数h（x）为减函数，
当a≤0时，令h′（x）=0，则x=$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，
此时x∈（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$，+∞）时，h′（x）＞0函数h（x）为增函数，
x∈（0，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）时，h′（x）＜0函数h（x）为减函数，
（3）若f（x）＞g（x）在x＞1时恒成立，
则h（x）＞0在x＞1时恒成立，
由（2）得：
当a$≥\frac{9}{8}$时，h（1）=0，满足h（x）＞0在x＞1时恒成立，
当0＜a＜$\frac{9}{8}$时，若h（x）＞0在x＞1时恒成立，则$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$≤1，
解得：1≤a＜$\frac{9}{8}$，
当a≤0时，$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$＞1，此时h（$\frac{3+\sqrt{9-8a}}{4}$）＜1，不满足条件；
综上所述，若f（x）＞g（x）在x＞1时恒成立，a≥1

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，恒成立问题，导数法研究函数的切线，难度中档．