题目内容

19．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1分别与平面AC，平面BC1，平面BA1所成的角，并求这些角的余弦值．

分析 利用正方体的结构特征和线面角的定义，结合勾股定理求解．

解答 解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
设棱长为1，由BD=BC1=$\sqrt{2}$，BD1=$\sqrt{3}$，
∵D1D⊥平面AC，∴对角线BD1与平面AC所成的角为∠DBD1，
cos∠DBD1=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵D1C1⊥平面BC1，∴对角线BD1与平面BC1所成的角为∠C1BD1，
cos∠C1BD1=$\frac{B{C}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵A1D1⊥平面BA1，∴对角线BD1分别与平面BA1所成的角为∠A1BD1，
cos∠A1BD1=$\frac{{A}_{1}B}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角的判断及其余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

练习册系列答案
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