题目内容
17．已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，求：（1）有两个正根的充要条件；
（2）有一个正根、一个根为零的充要条件；
（3）有一个大于2的根和一个小于2的根的充要条件．
分析 由条件利用二次函数的性质求得各种情况成立的充要条件．
解答 解：（1）有两个正根，等价于$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac≥0}\\{-\frac{b}{a}＞0}\\{\frac{c}{a}＞0}\end{array}\right.$．
（2）有一个正根、一个根为零的充要条件是：$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac＞0}\\{\frac{c}{a}=0}\\{-\frac{b}{a}＞0}\end{array}\right.$．
函数f（x）=ax2+bx+c，满足
（3）有一个大于2的根和一个下于2的根的充要条件是：
函数f（x）=ax2+bx+c，满足$\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}-4ac＞0}\\{-\frac{b}{2a}＞2}\\{f（2）=4a+2b+c≥0}\end{array}\right.$．
点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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| A． | [$\frac{1}{9}$，+∞） | B． | [$\frac{1}{3}$，+∞） | C． | （-∞，$\frac{1}{9}$] | D． | （-∞，$\frac{1}{3}$] |
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| A． | 6 | B． | 3 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | 1 |