Question

7．求函数y=2x-1-$\sqrt{13-4x}$的最大值．

Answer 1

分析 方法一、令t=$\sqrt{13-4x}$（t≥0），则x=$\frac{13-{t}^{2}}{4}$，将函数转化为二次函数的最值的求法，即可得到最大值；
方法二、求出函数的定义域，判断y=2x-1在（-∞，$\frac{13}{4}$]递增，y=-$\sqrt{13-4x}$在（-∞，$\frac{13}{4}$]递增，即可得到所求函数的单调性，进而得到最大值．

解答 解法一、（换元法）
令t=$\sqrt{13-4x}$（t≥0），
则x=$\frac{13-{t}^{2}}{4}$，
即有函数y=$\frac{13-{t}^{2}}{2}$-1-t=$\frac{-（t+1）^{2}+12}{2}$，
由函数在[0，+∞）递减，
可得t=0时取得最大值$\frac{11}{2}$．
解法二、（运用单调性的性质）
函数的定义域为{x|13-4x≥0}={x|x≤$\frac{13}{4}$}．
由y=2x-1在（-∞，$\frac{13}{4}$]递增，y=-$\sqrt{13-4x}$在（-∞，$\frac{13}{4}$]递增，
则有函数y=2x-1-$\sqrt{13-4x}$在（-∞，$\frac{13}{4}$]递增，
即有函数的最大值为2×$\frac{13}{4}$-1=$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查含根式函数的最值的求法，注意运用换元法化为二次函数的最值的求法，或运用单调性的性质：增+增=增，减+减=减，考查运算能力，属于中档题．