题目内容

【题目】已知在△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,且2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosA=1.
(1)求角A的值;
(2)求f(x)=4cosxcos(x﹣A)在x∈[0, ]的值域.

【答案】
(1)解:∵2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosA=1.

1+cosC+cosBcosA﹣ sinBcosA=1,

cosC+cosBcosA= sinBcosA,

﹣cos(A+B)+cosBcosA= sinBcosA,

﹣cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA= sinBcosA,

sinAsinB= sinBcosA,

∵sinB≠0,

∴tanA=

∴由A∈(0,π),可得:A=


(2)解:∵f(x)=4cosxcos(x﹣ )=4cosx( cosx+ sinx)

=cos2x+ sin2x+1=2sin(2x+ )+1,

∵x∈[0, ],2x+ ∈[ ],

∴sin(2x+ )∈[﹣ ,1],

∴f(x)=2sin(2x+ )+1∈[0,3]


【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB= sinBcosA,由于sinB≠0,可求tanA= ,结合范围A∈(0,π),可得A的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)=2sin(2x+ )+1,由x∈[0, ],可求2x+ ∈[ ],
利用正弦函数的图象和性质即可解得其值域
【考点精析】利用余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知余弦定理:;;

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练习册系列答案
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