题目内容
【题目】已知在△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,且2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosA=1.
(1)求角A的值;
(2)求f(x)=4cosxcos(x﹣A)在x∈[0, ]的值域.
【答案】
(1)解:∵2cos2 +(cosB﹣ sinB)cosA=1.
1+cosC+cosBcosA﹣ sinBcosA=1,
cosC+cosBcosA= sinBcosA,
﹣cos(A+B)+cosBcosA= sinBcosA,
﹣cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA= sinBcosA,
sinAsinB= sinBcosA,
∵sinB≠0,
∴tanA= ,
∴由A∈(0,π),可得:A= .
(2)解:∵f(x)=4cosxcos(x﹣ )=4cosx( cosx+ sinx)
=cos2x+ sin2x+1=2sin(2x+ )+1,
∵x∈[0, ],2x+ ∈[ , ],
∴sin(2x+ )∈[﹣ ,1],
∴f(x)=2sin(2x+ )+1∈[0,3]
【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB= sinBcosA,由于sinB≠0,可求tanA= ,结合范围A∈(0,π),可得A的值.(2)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)=2sin(2x+ )+1,由x∈[0, ],可求2x+ ∈[ , ],
利用正弦函数的图象和性质即可解得其值域
【考点精析】利用余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知余弦定理:;;.
【题目】2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准,该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值,并从2016年1月1日起在全国实施.空气质量的好坏由空气质量指数确定,空气质量指数越高,代表空气污染越严重,某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度,从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数,并按照空气质量指数划分为:指标小于或等于115为通过,并引进项目投资.大于115为未通过,并进行治理.现统计如下.
空气质量指数 | (0,35] | [35,75] | (75,115] | (115,150] | (150,250] | >250 |
空气质量类别 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
甲区天数 | 13 | 20 | 42 | 20 | 3 | 2 |
乙区天数 | 8 | 32 | 40 | 16 | 2 | 2 |
(1)以频率值作为概率值,求甲区和乙区通过监测的概率;
(2)对于甲区,若通过,引进项目可增加税收40(百万元),若没通过监测,则治理花费5(百万元);对于乙,若通过,引进项目可增加税收50(百万元),若没通过监测,则治理花费10(百万元)..在(1)的前提下,记X为通过监测,引进项目增加的税收总额,求随机变量X的分布列和数学期望.