题目内容
【题目】已知椭圆C1: +
=1(a>0,b>0)的离心率为
,其右焦点到直线2ax+by﹣
=0的距离为
.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P(0,﹣ )的直线l交椭圆C1于A,B两点.
①证明:线段AB的中点G恒在椭圆C2: +
=1的内部;
②判断以AB为直径的圆是否恒过定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)解:由椭圆C1: +
=1(a>b≥1)的离心率
,
其右焦点到直线2ax+by﹣ =0的距离为
,
可得e= =
,a2﹣b2=c2,
=
,
解得a= ,b=c=1,
则椭圆C1的方程为 +y2=1
(2)解:①证明:椭圆C2的方程为 +x2=1,
当直线l垂直于x轴时,AB的中点为(0,﹣ )在椭圆C2内部.
当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx﹣ ,代入
+y2=1,
并整理,得(1+2k2)x2﹣ kx﹣
=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2= ,
即有y1+y2=k(x1+x2)﹣ =﹣
,
可得G( ,﹣
),
由 +
=
= <1恒成立,
故点G恒在椭圆C2内部;
②当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,
当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+ )2=
,
由 ,得
,
由此可知若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),
下面证明Q(0,1)适合题意.
由①知:x1+x2= ,x1x2=﹣
,
可得
=(x1,y1﹣1)(x2,y2﹣1)=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)
=x1x2+(kx1﹣ )(kx2﹣
)=(1+k2)x1x2﹣
k(x1+x2)+
=(1+k2)(﹣ )﹣
k
+
=
=0,
即有 ⊥
,即Q(0,1)在以AB为直径的圆上.
综上,以AB为直径的圆恒过定点(0,1)
【解析】(1)由椭圆的离心率 ,其右焦点到直线2ax+by﹣
=0的距离为
,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C1的方程;(2)①椭圆C2的方程为
+x2=1,设直线l方程为y=kx﹣
,代入
+y2=1,得(1+2k2)x2﹣
kx﹣
=0.由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部;②当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+
)2=
,若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),再证明Q(0,1)适合题意,从而以AB为直径的圆恒过定点(0,1)
