题目内容
【题目】已知半径为5的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
求:(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆相交于
两点,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
?
若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)设圆心为(
),利用直线与圆相切的位置关系,根据点到直线的距离公式列方程解得
的值,从而确定圆的方程;
(2)直线与圆交于不同的两点,利用圆心到直线的距离小于圆的半径列不等式从而解出实数
的取值范围;
(3)根据圆的几何性质,垂直平分弦的直线必过圆心,从而由两点确定直线
的斜率,进一步由两直线垂直的条件确定实数
的值.
试题解析:(1)设圆心为(
).
由于圆与直线相切,且半径为
,所以,
,
即.因为
为整数,故
.
故所求的圆的方程是.
(2)直线即
.代入圆的方程,消去
整理,得
.由于直线
交圆于
两点,
故,即
,解得
,或
.
所以实数的取值范围是
.
(3)设符合条件的实数存在,由(2)得
,则直线
的斜率为
,
的方程为
,即
.
由于垂直平分弦
,故圆心
必在
上.
所以,解得
.由于
,
所以存在实数,使得过点
的直线
垂直平分弦
.
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