Question

【题目】如图△ABC中，AC=BC= AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．

（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求几何体ADEBC的体积V．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．

∵G，F分别是EC和BD的中点，

∴HG∥BC，HF∥DE．

又∵四边形ADEB为正方形，

∴DE∥AB，从而HF∥AB．

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．

∴平面HGF∥平面ABC．

∴GF∥平面ABC

（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC．

∴BE⊥AC．

又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．

∴AC⊥平面BCE．

从而平面EBC⊥平面ACD

（3）解：取AB的中点N，连接CN，∵AC=BC，

∴CN⊥AB，且CN= AB= a．

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED．

∵C﹣ABED是四棱锥，

∴VC﹣ABED= SABEDCN= a2 a= a3．

【解析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH．通过证明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后说明GF∥平面ABC；（2）通过证明AC⊥平面BCE，AC平面ACD，然后证明平面EBC⊥平面ACD；（3）取AB的中点N，连接CN，说明CN⊥平面ABED，求出底面面积，即可求解几何体ADEBC的体积V．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．