题目内容
【题目】对于函数,若
,则称
为
的“不动点”,若
,则称
为
的“稳定点”,函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
,即
,那么,
(1)求函数的“稳定点”;
(2)若,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)4;(2).
【解析】
(1)由稳定点的定义解方程即可得解;
(2)研究可知当
时,
,当
时,集合
的元素为1,;研究
可知,
中要么没有元素,要么与
的元素相同,再分类讨论即可得解.
解:(1)由题意得,,即
,求得
,所以函数
的“稳定点”为
.
(2)因为,则
有实根,即
有实根,
当时,所以
;
当时,方程
符合题意.
因为,则
有实根,即
有实根,化简可得
,
因为,所以
要么没有实根,要么实根是方程
的根.
若没有实根,则
且
;
若有实根,且实根是方程
的根,由方程
知
,代入
,有
,再代入
可得
,
故实数的取值范围为
.
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