题目内容
(本小题满分15分)已知函数
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点,试求b的取值范围.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点,试求b的取值范围.
(Ⅰ) ;(Ⅱ) 。
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求解函数的极值,导数的几何意义的应用,解决本题的关键是灵活应用方程的实根分布进行求解.
(I)先对函数求导f′(x)=3x2-3a,分a>0,f′(x)≥0,a>0则x=± ,讨论函数的单调性,进而求解函数的极值,从而可求a
(II)由题意可求切线方程y=-9x,由 y=-9x与y=2bx2-7x-3-b,
在[-1,1]上的图象有交点,说明函数得函数h(x)=2bx2+2x-3-b在区间[-1,1]上有零点,利用方程的实根分别问题进行求解即可
解: (Ⅰ) ,又函数有极大值
,得
在上递增,在上递减
,得 …………………………7分
(Ⅱ)设切点,则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得,所以
切线方程为
由得
设
则令,得
所以在上递增,在上递减
所以
若有两个解,则
得 …………………………15分
(I)先对函数求导f′(x)=3x2-3a,分a>0,f′(x)≥0,a>0则x=± ,讨论函数的单调性,进而求解函数的极值,从而可求a
(II)由题意可求切线方程y=-9x,由 y=-9x与y=2bx2-7x-3-b,
在[-1,1]上的图象有交点,说明函数得函数h(x)=2bx2+2x-3-b在区间[-1,1]上有零点,利用方程的实根分别问题进行求解即可
解: (Ⅰ) ,又函数有极大值
,得
在上递增,在上递减
,得 …………………………7分
(Ⅱ)设切点,则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得,所以
切线方程为
由得
设
则令,得
所以在上递增,在上递减
所以
若有两个解,则
得 …………………………15分
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