Question

12．设向量$\overrightarrow{a}$=（-sinx，1），$\overrightarrow{b}$=（sinx-cosx，1），其中x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求tanx的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；
（Ш）求f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量平行的坐标关系即可得到cosx=2sinx，从而得出tanx=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-sin²x+sinxcosx+1，然后根据二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式化简便可得到f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，从而得出周期T=π；
（Ⅲ）由正弦函数y=sinx的减区间为[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{3π}{2}$]，k∈Z，解不等式2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$$≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可得出f（x）的减区间．

解答 解：（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则：
-sinx-（sinx-cosx）=0；
∴cosx=2sinx；
∴$tanx=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-sinx（sinx-cosx）+1$=-sin²x+sinxcosx+1=$-\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+1$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅲ）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3}{2}π$，k∈Z，得：
$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$；
∴f（x）的递减区间为[$kπ+\frac{π}{8}$，$kπ+\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

点评 考查平行向量的坐标关系，切化弦公式，数量积的坐标运算，以及二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，三角函数周期的概念及计算公式，正弦函数的减区间，复合函数单调区间的求法．