题目内容
4.已知数列{an}的前n项和Sn满足(p-1)Sn=p2-an(p>0,p≠1),且a3=$\frac{1}{3}$.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$,数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,若对于任意的正整数n,都有Tn<m2-m-$\frac{5}{4}$成立,求实数m的取值范围.
分析 (Ⅰ)令n=1,2,3,运用条件,求得p=3,再由数列的通项和前n项和的关系,结合等比数列的定义、通项公式,可得所求通项;
(Ⅱ)化简bn,再由裂项相消求和,可得Tn<$\frac{3}{4}$,由不等式恒成立思想可得$\frac{3}{4}$≤m2-m-$\frac{5}{4}$,解不等式可得m的范围.
解答 解:(Ⅰ)由题设知(p-1)a1=p2-a1,
解得p=a1或p=0(舍去).
由条件可知(p-1)S2=(p-1)(a1+a2)=p2-a2,
解得a2=1.
再由(p-1)S3=(p-1)(a1+a2+a3)=p2-a3,
解得a3=$\frac{1}{p}$.
由a3=$\frac{1}{3}$可得$\frac{1}{p}$=$\frac{1}{3}$,故p=3=a1.
则2Sn=9-an,
当n>1时,2Sn-1=9-an-1,
以上两式作差得2(Sn-Sn-1)=an-1-an,
即2an=an-1-an,
故an=$\frac{1}{3}$an-1.
故数列{an}是首项为3,公比为$\frac{1}{3}$的等比数列.
故an=3($\frac{1}{3}$)n-1=32-n.
(Ⅱ)因为bn=$\frac{1}{2-lo{g}_{3}{a}_{n}}$=$\frac{1}{2-(2-n)}$=$\frac{1}{n}$,
所以bnbn+2=$\frac{1}{n(n+2)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$),
Tn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2
=$\frac{1}{2}$[(1-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)+($\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$)+…+($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$)]
=$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$)<$\frac{3}{4}$.
故要使Tn<m2-m-$\frac{5}{4}$恒成立,
只需$\frac{3}{4}$≤m2-m-$\frac{5}{4}$,即m2-m-2≥0
解得m≤-1或m≥2.
故所求实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).
点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系,考查等比数列的通项公式的运用,数列的求和方法:裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
A. | ($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$) | B. | ($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$) | C. | ($\frac{1}{3}$,1) | D. | (-∞,$\frac{1}{3}$)∪(1,+∞) |
A. | {0,1,2,4} | B. | {0,1,3,4} | C. | {2,4} | D. | {4} |
喜欢数学 | 不喜欢数学 | 合计 | |
男 | 13 | 10 | 23 |
女 | 7 | 20 | 27 |
合计 | 20 | 30 | 50 |
A. | 0 | B. | 95% | C. | 99% | D. | 100% |
A. | 8 | B. | -8 | C. | ±8 | D. | 以上都不对 |