题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
过点
,其参数方程为
(
为参数,
).以
为极点,
轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知曲线与曲线
交于
两点,且
,求实数
的值.
【答案】(1) ;
.(2)
或
.
【解析】
(1)曲线参数方程消去参数
,得到曲线
的普通方程,根据极坐标与直角坐标的互化公式,代入即可得出曲线
的直角坐标方程;
(2)设两点所对应参数分别为
,直线的参数方程代入曲线
的直角坐标方程,利用韦达定理和直线参数方程中参数的几何意义,得
,根据
,得
,分类讨论,即可求解.
(1)曲线参数方程为
为参数
,消去参数
,得
,
∴曲线的普通方程
,
又由曲线的极坐标方程为
,∴
,
根据极坐标与直角坐标的互化公式,代入得
,
整理得,即曲线
的直角坐标方程
.
(2)设两点所对应参数分别为
,
,
将代入
,得
,
要使与
有两个不同的交点,则
,即
,
由韦达定理有,根据参数的几何意义可知
,
,
又由,可得
,即
或
,
∴当时,有
,符合题意.
当时,有
,符合题意.
综上所述,实数的值为
或
.
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