题目内容
【题目】已知椭圆C:的焦距为
,且C过点
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设、
分别是椭圆C的下顶点和上顶点,P是椭圆上异于
、
的任意一点,过点P作
轴于M,N为线段PM的中点,直线
与直线
交于点D,E为线段
的中点,O为坐标原点,则
是否为定值,若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(Ⅰ)由焦距为,得
,由椭圆过点
,得
,再由a2=b2+c2,解得a=2,b=1,由此能求出椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0),x0≠0,则M(0,y0),,由此能求出直线B2N的方程,令y=﹣1,得
,由B2(0,﹣1),E为线段B1D的中点,得
,从而
,
,由此能证明
.
(1)由题意各焦距为,∴
,又∵椭圆过点
,
∴代入椭圆方程得,∵
,解得
,
,
故所求椭圆C的方程是;
(2)证明:设,
,则
,
,
∵点P在椭圆C上,,即
,
又,∴直线
的方程为
,
令,得
,∴
,
又,E为线段
的中点,∴
,
∴,
,
因
.
∴,即
.
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