题目内容
8.设函数y=f(x)(x∈R)的导函数为f′(x),且f(x)=f(-x),f′(x)<f(x),则下列不等式成立的是( )A. | f(0)<e-1f(1)<e2f(2) | B. | e-1f(1)<f(0)<e2f(2) | C. | e2f(2)<e-1f(1)<f(0) | D. | e2f(2)<f(0)<e-1f(1) |
分析 通过分析给出的选项的特点,每一个选项中要比较的三个式子都涉及含有e的负指数幂及f(x),所以设想构造函数
g(x)=e-x•f(x),通过求其导函数,结合题目给出的f′(x)<f(x),得到函数g(x)的单调性,然后在函数g(x)的解析式中分别取x=0,1,-2,利用函数单调性即可得到结论.
解答 解:构造辅助函数,令g(x)=e-x•f(x),
则g′(x)=(e-x)′•f(x)+e-x•f′(x)
=-e-x•f(x)+e-x•f′(x)
=e-x(f′(x)-f(x)).
∵f′(x)<f(x),
∴g′(x)=e-x(f′(x)-f(x))<0,
∴函数令g(x)=e-x•f(x)为实数集上的减函数.
则g(-2)>g(0)>g(1).
∵g(0)=e0f(0)=f(0),
g(1)=e-1f(1),
g(-2)=e2f(-2),
又f(-x)=f(x),
∴g(-2)=e2f(2),
∴e-1f(1)<f(0)<e2f(2).
故选:B.
点评 本题考查了利用导函数判断原函数的单调性,考查了不等关系与不等式,训练了函数构造法,解答此题的关键是结合选项的特点,正确构造出辅助函数,使抽象问题变得迎刃而解,此题是中档题.
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