Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3+ax2+bx（其中常数a，b∈R），

∴f′（x）=3x2+2ax+b，

∴g（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+ax2+bx﹣3x2﹣2ax﹣b，

∵g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，

∴a﹣3=0，b=0，

∴f（x）=x3+3x2

（2）解：∵f′（x）=3x2+6x，x∈[1，3]

∴g（x）=x3﹣6x，

∴g′（x）=3x2﹣6，

令g′（x）=3x2﹣6=0，解得x= ，

当g′（x）＞0时，即 ＜x≤3，函数单调递增，

当g′（x）＜0时，即1≤x＜ ，函数单调递减，

∴g（x）min=g（ ）=2 ﹣6 =﹣4 ，

∵g（1）=1﹣6=﹣5，g（3）=27﹣18=9，

∴g（x）max=g（3）=9

【解析】（1）先求出导函数，再根据奇函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决，（2）根据导数在闭区间上的应用，即可求出最值．
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质和函数的最大(小)值与导数，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．