Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（， 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；

（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离， ，利用三角函数求最值即可；

（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.

试题解析：

（1）直线的直角坐标方程为.

曲线上的点到直线的距离，

，

当时， ，

即曲线上的点到直线的距离的最大值为.

（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，

∴对，有恒成立，

即（其中）恒成立，

∴.

又，∴解得，

∴实数的取值范围为.