题目内容
函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
分析：根据题意，由奇函数的定义可得若f（x）为奇函数，则等式-x2009|-x-a|+b+x2009|x-a|+b=0对于任意的x∈R都成立，分析可得，必有a=b=0，进而分析可得a=b=0?a2+b2=0，验证充分性，即可得答案．
解答：解：根据题意，若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即等式-x2009|-x-a|+b+x2009|x-a|+b=0对于任意的x∈R都成立，
分析可得，必有a=b=0，
分析可得a=b=0?a2+b2=0，
反之若a2+b2=0，则a=b=0，
则f（x）=x2009|x|，f（-x）=-x2009|x|，
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
故f（x）为奇函数；
即函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是a2+b2=0，
故选D．
即等式-x2009|-x-a|+b+x2009|x-a|+b=0对于任意的x∈R都成立，
分析可得，必有a=b=0，
分析可得a=b=0?a2+b2=0，
反之若a2+b2=0，则a=b=0，
则f（x）=x2009|x|，f（-x）=-x2009|x|，
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
故f（x）为奇函数；
即函数f（x）=x2009|x+a|+b是奇函数的充要条件是a2+b2=0，
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性的性质与充要条件的判断，关键在于由等式恒成立分析出a=b=0．
练习册系列答案
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对于任意函数f（x），x∈D，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：