题目内容

(2011•南昌模拟)设函数f(x)=xsinx(x∈R).
(1)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k∈Z;
(2)设x0为f(x)的一个极值点,证明[f(x0)]2=
x
4
0
1+
x
2
0
分析:(1)由f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)Sin(x+2kπ)-xSinx,能够证明f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx.
(2)由f'(x)=Sinx+xSinx得:f'(x0)=Sinx0+x0Sinx0=0,由Sin2x0+cos2x0=1联立得:Sin2x0=
x
2
0
1+
x
2
0
,由此能够证明[f(x0)]2=
x
4
0
1+
x
2
0
解答:解:(1)f(x+2kπ)-f(x)
=(x+2kπ)Sin(x+2kπ)-xSinx
=(x+2kπ)Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…(6分)
(2)由f'(x)=sinx+xcosx,
得:f'(x0)=sinx0+x0cosx0=0…(8分)
又sin2x0+cos2x0=1联立,
得:Sin2x0=
x
2
0
1+
x
2
0
…(12分)
∴[f(x0)]2=x02Sin2x0=
x
2
0
×
x
2
0
1+
x
2
0
=
x
4
0
1+
x
2
0
…(14分)
点评:本题考查同角三角函数间的基本关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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