Question

【题目】定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．

（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？

（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.

Answer 1

【答案】（1）16；（2）115.

【解析】

(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.

(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；

当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.

解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,

其中“”共有：种,

“”共有：种,

利用分类计数原理得：

为“﹣数列”中的任意三项,

则使得的取法有：种．

（2）与(1)同理,“”共有种,

“”共有种,

而在“﹣数列”中任取三项共有种,

根据古典概型有：,

再根据组合数的计算公式能得到：

,

时,应满足,

,共个,

时,

应满足,

视为常数,可解得,

,

根据可知,,

,

,

根据可知,,（否则）,

下设,

则由于为正整数知必为正整数,

,

,

化简上式关系式可以知道：,

均为偶数,

设,

则

,

由于中必存在偶数,

只需中存在数为的倍数即可,

,

．

检验： 符合题意,

共有个,

综上所述：共有个数对符合题意．