题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
，设
，证明：
，
，使
.
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）
，分
，
，
，
四种情况讨论即可；
（2）问题转化为
，利用导数找到
与
即可证明.
（1）
.
①当时，
恒成立，
当
时，
；
当
时，
，所以，
在
上是减函数，在
上是增函数.
②当时，
，
.
当时，
；
当
时，
；
当
时，，所以，
在上是减函数，在
上是增函数，
在
上是减函数.
③当时，
，
则在
上是减函数.
④当时，
，
当
时，；
当
时，；
当时，，
所以，在
上是减函数，
在
上是增函数，在上是减函数.
（2）由题意，得.
由（1）知，当，
时，
，
.
令
，
，
故
在上是减函数，有
，
所以
，从而
.
，
，
则
，
令
，显然
在上是增函数，
且
，
，
所以存在
使
，
且
在
上是减函数，
在
上是增函数，
，
所以
，
所以
，命题成立.
名校课堂系列答案【题目】某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如下表：
质量指标检测分数 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
甲班组生产的产品件数 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
乙班组生产的产品件数 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？
甲班组 | 乙班组 | 合计 | |
合格品 | |||
次品 | |||
合计 |
（3）若按合格与不合格比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
