Question

【题目】如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值是，的最小值是，且满足.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设线段的中点为，线段的垂直平分线与轴、轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）令，则，，由，得到，即可求解椭圆的离心率；（2）设过焦点的直线的方程为，与椭圆方程联立，进而表示出点，然后表示出面积，从而求解的取值范围

试题解析：(1)令，则，.

由，得，即，即，，即，

所以椭圆的离心率为.

（2）由线段的垂直平分线分别与轴、轴交与点、，知的斜率存在且不为0.

令的方程为.

联立，得.

，，.

由，得，解之得.

由，得.

令，则，于是.

而上递增，.于是.

又，，的取值范围是.