题目内容
【题目】已知点
是圆
上任意一点，点
与点
关于原点对称，线段
的垂直平分线分别与
，交于
，
两点.
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）过点
的动直线
与点的轨迹交于
，
两点，在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查曲线轨迹方程的求法，画出图形分析，根据垂直平分线的性质可知
，再根据
，于是得到
所以点
的轨迹
为以
为焦点的椭圆，可以求出轨迹方程；（2）首先考虑当直线斜率存在时，方程可设为
，设
，联立直线与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程后，列出
，假设在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点，则
即
于是经计算可以求出m的值，再检验当斜率不存在时也符合上面求出的值.
试题解析：(I)由题意得
点的轨迹为以为焦点的椭圆
点的轨迹的方程为
(II)直线
的方程可设为，设
联立
可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则
即
求得
因此，在轴上存在定点
，使以为直径的圆恒过这个点.
练习册系列答案
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【题目】某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：
停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为
小时，求
的值；
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠
小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
