题目内容
【题目】已知点是圆
上任意一点,点
与点
关于原点对称,线段
的垂直平分线分别与
,
交于
,
两点.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过点的动直线
与点
的轨迹
交于
,
两点,在
轴上是否存在定点
,使以
为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)本问考查曲线轨迹方程的求法,画出图形分析,根据垂直平分线的性质可知,再根据
,于是得到
所以点
的轨迹
为以
为焦点的椭圆,可以求出轨迹方程;(2)首先考虑当直线斜率存在时,方程可设为
,设
,联立直线与椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程后,列出
,假设在
轴上是否存在定点
,使以
为直径的圆恒过这个点,则
即
于是经计算可以求出m的值,再检验当斜率不存在时也符合上面求出的值.
试题解析:(I)由题意得
点
的轨迹
为以
为焦点的椭圆
点
的轨迹
的方程为
(II)直线的方程可设为
,设
联立可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点
,使以
为直径的圆恒过这个点,则
即
求得
因此,在轴上存在定点
,使以
为直径的圆恒过这个点.
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练习册系列答案
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停靠时间 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
轮船数量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时,求
的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时,且在一昼夜的时间段中随机到达,求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.