Question

【题目】已知圆E：x2+（y﹣ ）2= 经过椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点F1 ， F2 ， 且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1 ， E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且 =λ （λ≠0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，

∴c2+（0﹣ ）2= ，解得c= ，

∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，

∴AF2⊥F1F2，∴ = ﹣ =9﹣8=1，

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2

由a2=b2+c2得，b= ，

∴椭圆C的方程是 ；

（2）解：由（1）得点A的坐标（ ，1），

∵ （λ≠0），∴直线l的斜率为kOA= ，

则设直线l的方程为y= x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），

由 得， ，

∴x1+x2= ，x1x2=m2﹣2，

且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，

∴|MN|= |x2﹣x1|=

= = ，

∵点A到直线l的距离d= = ，

∴△AMN的面积S= =

= ≤ = ，

当且仅当4﹣m2=m2，即m= ，直线l的方程为 ．

【解析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．