Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ ab=c2 ．
（1）求C；
（2）设cosAcosB= ， = ，求tanα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2+b2+ ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ ab，

∴由余弦定理得：cosC= = =﹣ ，

又C为三角形的内角，

则C=

（2）解：由题意 = = ，

∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）= ，

即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB= ，

∵C= ，A+B= ，cosAcosB= ，

∴sin（A+B）= ，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB= ﹣sinAsinB= ，即sinAsinB= ，

∴ tan2α﹣ tanα+ = ，即tan2α﹣5tanα+4=0，

解得：tanα=1或tanα=4

【解析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．
【考点精析】掌握两角和与差的余弦公式和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道两角和与差的余弦公式：；余弦定理:;;．