Question

【题目】设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+ ，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切线与y轴相交于点（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a= ．

（2）

解：由（1）得f（x）= （x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+ = ，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，

当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，

故f（x）在x=2时取得极大值f（2）= +6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3

【解析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．