Question

【题目】如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB的中点，OF⊥EC． （Ⅰ）求证：OE⊥FC：
（Ⅱ）若 = 时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连结OC，∵AC=BC，O是AB的中点， 故OC⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2，
∵ = ，∴AC= ，则OC=
建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则F（0，﹣1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（ ，0，0），则
=（﹣ ，1，1）， =（0，﹣2，0），
设平面FCE的法向量为 =（x，y，z），
则 ．
∴ =（1，0， ），
∵ =（0，0，1）， =（ ，﹣1，0），
∴同理可得平面CEB的法向量为 =（1， ，0），
∴cos＜ ， ＞= = ，
∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角，
∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】（Ⅰ）连结OC，则OC⊥AB，从而得到OC⊥OF，进而得到OF⊥OE，由此能证明OE⊥FC． （Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨设AF=1，AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．