题目内容
【题目】已知
与
相交于点
，线段
是圆
的一条动弦，且
，则
的最小值是___________．
【答案】
【解析】
由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2。因为要求
的最小值，可作垂直线段CD⊥AB，根据向量的运算可得，
，根据条件求得CD的长度为1，所以点D的轨迹为
。根据两圆方程可知点P的轨迹与点D的轨迹外离，故的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径。
∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，
∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），
∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
作垂直线段CD⊥AB，CD=
=1，
所以点D的轨迹为,
则
，
因为圆P和圆D的圆心距为
，
所以两圆外离，
所以|PD|最小值为
，
所以
的最小值为4
﹣2.
故答案为：4﹣2.
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