题目内容
【题目】四棱柱
中，侧棱
底面
，底面为菱形，
，
，
.
是
的中点，
与
相交于点
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
(1)根据已知条件证明
平面
，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）取
中点
，以射线
，
，
的方向作为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面
和平面
的法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
（1）证明：连接
.因为
，
是
的中点，所以
.
又
，所以
平面
，所以
.
在
中，
，
，所以
.
在矩形中，
，，是
中点，所以
.
所以平面
，即平面.
又
平面
，所以平面
平面.
（2）解：取中点，以射线，，的方向作为，，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
则
，
，
，
.
，
，
.
设平面的一个法向量为
，则由
得
取
，则
.
设平面的一个法向量为
，则由
得
取
，则
.
所以二面角
的余弦值为.
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